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OpenAI et la conjecture d'Erdős — l'IA entre dans le sanctuaire des mathématiques · Le centre de gravité

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  Épisode open AI et la conjecture d'Erdoch lia entre dans le
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  sanctuaire des mathématiques. Chapitre un, le voyageur est son
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  livre. Il vivait d'une valise et
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  mourait avec moins de 1000$ sur son compte.
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  Ce qui lui appartenait vraiment, c'était les questions.
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  Paul Erdoch sonnait à votre porte à 04h00 du matin.
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  Il disait my Brain is open et il entrait pendant 1/2 siècle.
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  Cette scène s'est répétée dans des dizaines de maisons à
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  travers le monde. Princeton, Budapest, Tel Aviv,
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  Montréal. Erdoche vivait nulle part et
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  partout, dormait chez des collègues quelques jours avant
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  de repartir avec sa valise. Vers la prochaine équation
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  ouverte. Il n'avait ni appartement, ni
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  voiture, aucun compte en banque au sens ordinaire.
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  Ce qu'il possédait tenait dans ce bagage quelques vêtements et
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  une liste de questions sans réponse.
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  Il a signé plus de 1500 articles, plus que tout autre
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  mathématicien de l'histoire. Mais ce qui le rendait inégalé
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  n'était pas le volume de ses solutions, c'était le volume de
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  ses problèmes. Il en avait formulé plus d'un
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  millier qui résistaient à tous les esprits de son époque.
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  Et pour les plus difficiles, il reconnaissait honnêtement
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  l'échec d'une façon qui lui était propre.
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  Il le signifiait avec de l'argent, 25$ pour les questions
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  accessibles, parfois 10000 pour les plus profondes.
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  Ses prix n'étaient pas symboliques, erdoche les payait
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  réellement de sa propre poche avec ses honoraires de
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  conférence. Après sa mort en 1996, son ami
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  Ron Graham a tenu un petit fond pour honorer ses dettes
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  mathématiques. Les prix sont encore ouverts
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  aujourd'hui, gérés par le site Air Duch Problem 1103 questions
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  posées au total 492 résolues à ce jour.
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  Le compte reste ouvert, mais la partie la plus singulière
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  d'erduch n'est ni dans les prix ni dans les articles, elle est
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  dans quelque chose qu'il ne pouvait pas donner et ne
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  cherchait pas à vendre. Il croyait que Dieu, qu'il
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  appelait l'architecte suprême en dépit d'un athéisme déclaré,
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  tenait 1£ pas 1£ imprimé, pas un recueil humain, mais le livre.
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  Celui où chaque théorème mathématique existe à côté de sa
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  preuve parfaite, courte, belle, inévitable.
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  Vous n'avez pas besoin de croire en Dieu, disait Il, mais vous
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  devriez croire au livre. Une preuve du livre n'est pas
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  seulement correcte, elle illumine, elle ne vous dit pas
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  seulement que c'est vrai, elle vous montre pourquoi ça ne
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  pouvait être autrement. C'est cette exigence là, cette
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  esthétique sévère qu'ardoche portait dans chacune de ces
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  questions en 1946, depuis un bureau à Budapest.
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  Il en Formula une qui allait tenir en échec toute la
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  géométrie combinatoire pendant 80 ans.
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  Chapitre 2, la question des distances, 79 ans d'impasse un
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  problème assez clair pour un lycéen, assez dur pour qu'une
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  génération entière de géomètres ne le ferme pas.
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  Imaginez que vous plantez des points sur une feuille de
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  papier. Combien de paires pouvez vous
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  faire tenir à exactement un centimètre les unes des autres
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  si vous disposez de n points au total, la réponse intuitive et
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  la grille carrée. Vous organisez vos points comme
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  sur un échiquier chaque point à 4 voisins immédiats à distance
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  un et vous maximisez par la régularité pour n point disposé.
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  Ainsi, le nombre de paires à distance un croît un peu plus
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  vite que la racine de n environ n exposant un et demi propre
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  régulier. Et pendant 80 ans, la plupart
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  des géomètres ont supposé qu'on ne pouvait pas faire mieux.
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  Erdus n'en était pas sûr, sa conjecture était prudente, il
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  pensait que la grille était essentiellement optimale.
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  Mais dans les termes exacts du problème, personne ne l'avait
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  prouvé. D'un côté, les meilleures
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  constructions connues dépassaient légèrement la
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  grille, de l'autre, on savait que le maximum théorique ne
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  pouvait pas dépasser n, exposant 4/3 entre ces 2 bornes.
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  Un gouffre d'une génération de travail sans pont.
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  Noga alone, Joël Spencer, Janos Pack, des noms qui dominent la
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  géométrie combinatoire depuis 30 ans ont tous travaillé sur ce
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  problème. Chaque amélioration marginale
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  coûtait des années de concentration.
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  Le problème résistait, non pas parce qu'il était mal posé, mais
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  parce que les outils qu'on lui apportait naturellement la
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  géométrie euclidienne, la combinatoire atteignaient leur
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  propre plafond. L'équipement disponible ne
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  convenait pas. Ce que personne n'avait tenté de
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  faire, c'est quitter la géométrie entièrement, traverser
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  la frontière vers un territoire qui n'avait à première vue aucun
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  rapport avec des points sur un plan.
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  Chapitre 3, le saut de 125 pages, le 20 mai 2026.
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  Open AI publie quelque chose d'inhabituel, ni un modèle, ni
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  un benchmark, une preuve. Le modèle qu'Open AIA mobilisé
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  n'était pas un système conçu pour les mathématiques de
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  recherche, selon l'annonce officielle du 20 mai 2026.
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  C'est un modèle de raisonnement généraliste, le type qu'on peut
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  tourner sur n'importe quelle question ouverte, sans
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  préparation spécifique à la géométrie ni à la théorie des
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  nombres. Et ce modèle confronté à la
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  conjecture d'erdeus. A fait quelque chose qu'un
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  demi-siècle de géomètre n'avait pas fait.
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  Il est allé chercher du côté de la théorie de Golod
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  Schafarevitch, Ivgeni Golod et Igor Schafarevitch, c'est
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  10091641. Théorème de théorie algébrique
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  des nombres, territoire de mathématiques qui s'occupe de
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  structures abstraites construites sur des extensions
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  de corps numériques. La question qu'il résolvait
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  n'avait aucun rapport visible avec des distances dans un plan,
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  il prouvait que certaines tours de corps de classe pouvaient
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  être infinies. Des empilements d'extension
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  algébrique qui continuent indéfiniment chaque étage plus
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  riche que le précédent, sans jamais s'arrêter l'idée que le
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  modèle a construite. D'après les analyses de la
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  preuve publiée sur archive sous la référence 2 CIP 5.2 1579 si
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  vous prenez vos points de plan non pas comme des coordonnées
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  géométriques ordinaires, mais comme les racines de polynômes
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  définies sur des corps de nombres soigneusement choisis.
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  Si vous utilisez gollod schafarevic pour garantir que
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  vous pouvez construire des tours de ces corps de façon contrôlée,
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  alors les configurations géométriques qui en résultent
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  produisent plus de paires à distance un que n'importe quelle
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  grille. Ce pont là attendait dans la
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  théorie des nombres depuis 1964, à quelques rayons de
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  bibliothèque de la géométrie combinatoire, aucun géomètre ne
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  l'avait traversée, la preuve résultante fait 125 pages.
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  Tim Gowers, Médaillé Fields en 1998.
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  L'alu et Noga allons avec lui, ils ont signé, le résultat est
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  correct dans les 48 h suivant la mise en ligne.
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  Will sawin à Princeton a précisé le résultat, on peut atteindre n
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  exposant 1,014 pairs à distance un ce n'est pas un écart énorme
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  mais c'est le premier gap positif jamais démontré
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  au-dessus de la grille après 8 décennies pour calibrer ce que
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  ce saut représente une comparaison.
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  Andrew Wiles a prouvé le dernier théorème de fermat en 1994 en
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  connectant un problème de théorie des nombres à la
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  géométrie algébrique via les courbes elliptiques, un pont lui
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  aussi traversant 2 domaines distincts.
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  Wiles a passé 7 ans dessus en secret dans son grenier à
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  Oxford. Le modèle n'a pas travaillé 7
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  ans. Il n'était pas entraîné pour la
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  géométrie des distances. Chapitre 4, le procès des 4
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  couleurs. En 1976, une autre preuve
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  assistée par machine avait déchiré la Communauté
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  mathématique pendant 20 ans. Ce qui s'est passé alors
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  ressemble à aujourd'hui et diffère sur un point.
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  Qui change tout. Le 26 septembre 1976, Kenneth
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  Apple et Wolfgang Ecken ont annoncé la preuve du théorème
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  des 4 couleurs, toute carte géographique peut être coloriée
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  avec 4 couleurs au plus, sans que 2 régions adjacentes aient
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  la même teinte. Le problème attendait depuis 124
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  ans. Leur méthode était inédite, un
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  programme IBM370 avait vérifié 1936 configurations cas par cas
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  pendant des centaines d'heures de calcul.
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  Aucun humain ne pouvait relire cette vérification dans une vie
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  entière. On pouvait seulement faire
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  confiance au fait que le programme avait correctement
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  tourné. La réaction de la Communauté n'a
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  pas été enthousiaste. Des mathématiciens de premier
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  plan ont refusé d'admettre que c'était une vraie preuve.
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  Le grief n'était pas sur l'exactitude, le résultat était
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  correct, mais sur ce qu'une preuve est censée faire.
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  Vous la lisez et vous voyez pourquoi le théorème est vrai.
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  Vous ne vérifiez pas seulement qu'il est vrai.
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  L'i BM370 avait fourni la vérification sans fournir
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  l'illumination. Ce manque là a occupé la
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  discipline pendant 20 ans. Georges Bontier a finalement
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  produit une vérification formelle entièrement différente
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  en 2005, construite dans le langage de preuve coq, un
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  argument que la machine elle même pouvait certifier de
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  l'Intérieur. C'est seulement à ce moment que
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  les dernières réserves ont disparu.
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  La preuve, open IR dush hérite de cette histoire, mais s'en
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  distingue sur un point précis. L'i BM370 vérifiait des cas, on
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  ne pouvait pas le suivre, seulement lui faire confiance.
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  La preuve de 125 pages, elle se lit, Tim gowers l'a traversée.
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  Les étapes ont une logique qu'un mathématicien peut suivre, même
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  si la direction de départ ne lui serait jamais venue.
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  Ce n'est pas une vérification aveugle, c'est un argument long,
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  abstrait, emprunté à un domaine parallèle, mais humainement
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  lisible. La question que le théorème des
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  4 couleurs avait posée une preuve non relisable est elle
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  une vraie preuve ? Ne se pose pas ici.
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  La question qu'il laisse en héritage, en revanche, est plus
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  profonde. Que valent les mathématiques
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  quand la direction qui mène à la vérité ne vous appartient plus ?
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  Chapitre 5, la preuve correcte est la preuve belle erdoche
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  voulait les preuves belles. La machine produit les preuves
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  correctes. Ce ne sont pas la même chose et
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  cette différence va redéfinir qui fait quoi en mathématiques.
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  En 10091942 ans avant sa mort, erdos a participé à un projet
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  dansé par ses amis Martin hegner et Günther Ziegler à l'institut
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  de recherche d'Ober Wolfar, en Allemagne.
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  Il voulait matérialiser le livre, pas le vrai. celui-là
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  n'existe que dans l'imaginaire, mais une approximation
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  terrestre, une collection d'épreuves les plus élégantes
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  que l'humanité avait trouvées. Erdus a contribué des
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  suggestions, des discussions. Il est mort en 1996 avant de
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  voir le résultat. Proofs from the book, deigner et
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  Ziegler a été publié en 1998 avec une dédicace à sa mémoire.
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  Le livre a traversé 5 éditions, été traduit en 13 langues, reçu
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  le prix style de l'American Mathematical Society en 2018.
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  Erdus est devenu le destinataire d'un hommage qu'il n'a pas pu
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  lire autour d'une idée qu'il avait lui même inventée.
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  La conjecture des distances unité ne figurait pas dans le
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  livre degner et Ziegler, elle était ouverte.
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  Maintenant qu'elle est résolue, la preuve qui existe n'y entrera
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  pas, non +125 pages d'algèbre de corps abstraits, exact vérifié,
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  durable. Ce n'est ni cours ni média, rien
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  de l'inévitabilité que réclamait erdus ne transparaît dans ses
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  pages. Ce que ça révèle est plus
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  conséquent que le résultat lui même.
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  Les mathématiques ont une culture qui mêle 2 actes.
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  Poser les questions et les résoudre erdus était
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  exceptionnel dans le premier, il générait des questions plus vite
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  qu'une génération entière pouvait les traiter.
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  Sa valeur n'était pas dans ses solutions, elle était dans sa
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  façon de regarder les structures et de voir lesquelles méritait
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  d'occuper les meilleures têtes du siècle.
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  La machine est en train de devenir compétente sur le 2nd
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  acte. Elle trouve des voies que la
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  géographie mentale des spécialistes ne connectait pas.
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  Ce n'est ni du génie humain ni de la vérification mécanique.
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  C'est un 3e mode qui traverse l'espace d'épreuves sans la
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  carte que la formation impose. Mais les questions, elle ne les
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  pose toujours pas. La conjecture des distances
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  unité n'a pas été générée par une IA.
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  Elle vient d'un homme qui avait passé 50 ans à observer les
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  structures du monde avec une curiosité qui n'avait rien de
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  calculatoire. La prochaine question qui
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  résistera 80 ans, ce sera peut être encore un humain qui
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  l'écrira sur un bout de papier avec un billet au bas de la page
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  pour quiconque trouvera. Et la machine qui résoudra cette
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  question n'aura aucun mérite à comprendre pourquoi elle était
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  belle. Vous écoutiez open AI et la
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  conjecture d'erduch l'i a entre dans le sanctuaire des
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  mathématiques. Merci d'avoir écouté jusqu'au
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  bout. Si cet épisode vous a parlé,
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  partagez le.